Beim Kelly Criterion – ins Deutsche mit „Kelly Methode“ oder auch „Kelly Strategie“ übersetzt – handelt es sich um eine mathematische Formel, die von John Larry Kelly, Jr. im Jahr 1956 in einem Aufsatz im Bell System Technical Journal vorgestellt wurde.

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Die Formel ermöglicht es, unter Berücksichtigung der Unsicherheit über den Spielausgang, den optimalen Wetteinsatz für Sportwetten zu fixen Quoten zu ermitteln.
 

Genauer gesagt geht es darum, aus einem Gesamtkapital heraus die optimale anteilsmäßige Summe für den Einzeltipp festzulegen. Übergeordnetes Ziel ist es, auf diese Weise das Wettkapital auf lange Sicht zu maximieren.

Da es sowohl um die Einteilung als auch um die Entwicklung von Geldmitteln geht, handelt es sich beim Kelly Kriterium gleichermaßen um eine Money Management Methode wie auch eine vor allem von routinierten Wettprofis penibel verfolgte Strategie für Sportwetten.

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In seinen Ausführungen zur Formel greift Kelly auf das Bild des Spielers zurück, der über einen Zugang zu Insiderinformation betreffend eines Baseballspiels (zwei mögliche Ausgänge) verfügt. Diesen „allwissenden Spieler“, der im Vorfeld über den Spielausgang Bescheid weiß, kann es in Realität natürlich nicht geben.

Und auch Kelly legt dem Spieler Einschränkungen auf: Seinem Glück einer vollkommen risikofreien Wette entgegen steht nämlich die Tatsache, dass ihm das Spielergebnis über das Telefonnetz zugetragen wird, dessen Störgeräusche dazu führen, dass die Botschaft unter Umständen nicht korrekt ankommt.

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Die Wahrscheinlichkeit einer korrekten Transmission liegt bei p und jene einer fehlerhaften Transmission bei q. Wie also soll der Spieler unter den gegebenen Bedingungen vorgehen?
 

Auch der moderne Spieler stellt sich die Frage, auf welche Mannschaft er tippen soll. Nur lässt sich seine Wettunsicherheit nicht auf die Wahrscheinlichkeit von Übertragungsfehlern, sondern auf gänzlich andere Wahrscheinlichkeiten zurückführen.

 
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Die Ursache für die Unsicherheit des Spielers bei Kelly wirkt nicht nur aus moderner Sicht an den Haaren herbei gezogen. Es gibt nun mal keine allwissende Informationsquelle, außer es existieren Vereinbarungen zwischen den Spielparteien die einem Betrug gleich kommen.

Verständnis für Kellys Wahl kommt jedoch in erster Linie dann auf, wenn Kontext und Entstehungszusammenhang des Aufsatzes berücksichtigt werden.

Kelly forscht zu der Zeit in den Bell Laboratories zur Minimierung von Störgeräuschen in der Telekommunikation, wo auch die Idee zur Formel entsteht. Um diese in den Kontext seiner Forschung zu stellen und ihre Publikation im hauseigenen Fachjournal nicht zu gefährden, müssen Telefonleitung und Störgeräusche in den Ausführungen des Originaltextes zwangsläufig eine Rolle spielen.

Kelly selbst jedoch deklariert bereits die Offenheit der Formel für andere Zusammenhänge:

„The ‘channel’ of the theory might correspond to a real communication channel or simply to the totality of inside information available to the investor.“ (Kelly 1956: 926)

 
Die Kelly Formel erlangte später in ihrer Verwendung durch die Finanzwirtschaft Berühmtheit: als Investitionstheorie, in der Beschreibung von Edward O. Thorp, einerseits und in der praktischen Anwendung auf Finanzmärkten durch Warren Buffet andererseits. Dass ein Algorithmus, der darauf abzielt, Investitionen zu maximieren, das Interesse anderer Disziplinen weckt, ist eigentlich eine logische Konsequenz.

Kelly selbst hatte diese Entwicklung bereits vorweggenommen, indem er in der Originalschrift darauf hin weist:

„Although the model adopted here is drawn from the real-life situation of gambling it is possible that it could apply to certain other economic situations.“ (Kelly 1956: 926)

Sportwetten nach Kelly: Formel, Erklärung und Rechenbeispiel

Wie bereits ausgeführt geht es Kelly darum, risikoreiche Investitionen zu optimieren um das Kapital auf lange Sicht zu maximieren.

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Bei Investitionen, die nicht zwangsläufig in Erfolg münden, kann es, so Kelly, nicht darum gehen, den Vermögenszuwachs an sich zu maximieren, sonst müsste das komplette Budget gesetzt werden. Denn nur so lässt sich der maximal mögliche Ertrag sicherstellen – in gleicher Weise ist aber auch ein maximaler Verlust möglich.

Vielmehr muss es also darum gehen, den erwarteten Vermögenszuwachs zu maximieren („maximize the expected logarithm of wealth“). Kelly führt folglich eine Nutzenfunktion in seine Formel ein.
 

Viel mehr soll an dieser Stelle zum Hintergrund und zum Verständnis der Formel nicht gesagt werden, denn der Originaltext von Kelly bzw. die Formeln darin sind ohne tieferes mathematisches Verständnis wie es ein Studium, nicht jedoch die Schulbildung allein es vermittelt, schwer zugänglich. Die komplexen Berechnungen Kellys lassen sich jedoch auf ihren Kern reduzieren, sodass die Formel für Sporttipper nutzbar wird:

f* = (bp-q) / b = [p (b + 1) – 1] / b

f* steht für den Wetteinsatz (Prozentanteil am Gesamtkapital), den es über die anschließende Formel zu ermitteln gilt, b steht für die Quote, welche der Wettanbieter offeriert, p ist die, um es mit einem allgemeineren Terminus als „erfolgreiche Transmission“ zu fassen: Gewinnwahrscheinlichkeit und q ist analog zur Gewinnwahrscheinlichkeit die Verlustwahrscheinlichkeit (in Prozent).

Welcher der beiden oben dargestellten Berechnungswege gewählt wird, ist reine Geschmacksache. Um für all jene, die mit einem weniger geübten „Formelblick“ ausgestattet sind eine Erklärung für die beiden unterschiedlichen Berechnungswege zu liefern:

 
Gewinn- und Verlustwahrscheinlichkeit gemeinsam ergeben 100% (= 1), weshalb q in logischer Konsequenz 1 – p ist (siehe zweiter Berechnungsweg). Die Prozente der Gewinn- und Verlustwahrscheinlichkeiten müssen folglich in Kommazahlen ausgedrückt werden (bspw.: 40% ist 0,40).
 

Der wissenschaftliche Diskurs zur Kelly Formel ist im Wesentlichen auf den anglo-amerikanischen Sprachraum beschränkt. Gleiches gilt für die Aufbereitung innerhalb der Sportcommunity. Deshalb gilt es zu bedenken, dass die Formel, so wie sie oben beschrieben ist, mit dem amerikanischen Quotensystem funktioniert.

Über die anschließenden Rechenbeispiele soll die Formel zunächst in ihrer praktischen Anwendung nach dem amerikanischen Quotensystem gezeigt werden, um sie danach schrittweise für den „europäischen Gebrauch“ zu adaptieren.

Annahmen für das Rechenbeispiel 
b = Quote = 2,5 (europ. Quote) = +150 (amerikan. Quote)

Die amerikanische Quote muss für die Formel weiter aufbereitet werden:
Da die Payout Ratio 150 : 100 (bei 100 Euro Wetteinsatz können 150 Nettogewinn erzielt werden) lautet, ist als Quote 1,5 (= 150 / 100) einzusetzen.

p = Gewinnwahrscheinlichkeit = 60% = 0,60
q = Verlustwahrscheinlichkeit = 40% = 0,40
 
Berechnung Wetteinsatz in % mit amerikan. Quoten (Ergebnis gerundet)           
[0,60 x (1,5 + 1) – 1] / 1,5 = 0,33 = 33%

Da der Umweg über die amerikanische Quote umständlich ist, ist die Formel nachfolgend so dargestellt, wie sie auf die Berechnung mit Dezimalquoten anwendbar ist:

f* = (bp – 1) / (b – 1)
Berechnung Wetteinsatz in % mit europ. Quoten (Ergebnis gerundet)
(2,5 x 0,60 – 1) / (2,5 – 1) = 0,33 = 33%

Wer statt dem Prozentanteil gleich die Summe für den Wetteinsatz errechnen möchte, der bezieht in die Formel einfach das Wettkapital (V) mit ein:

f* = [V (bp – 1)] / (b – 1)
Berechnung Wetteinsatz in Euro bei V = 1.000 Euro (Ergebnis gerundet)
[1.000 x (2,5 x 0,60 – 1)] / (2,5 – 1) = 333 Euro

Von den Elementen die notwendig sind, um den Wetteinsatz zu berechnen, bleiben zwei dem Sporttipper überlassen: das Wettkapital und die Gewinnwahrscheinlichkeit. Neben der Einschätzung durch den Wettanbieter (= Quote) zum Ausgang des Wettereignisses, spielt also noch eine weitere Wahrscheinlichkeit einer Rolle.

Kelly ermittelt die Wahrscheinlichkeiten dafür, ob die Wette aufgeht oder nicht, anhand der Fehleranfälligkeit der Informationsübertragung. Für tatsächliche bzw. moderne Wettgeschäfte ist dies freilich nicht brauchbar. In der Sportwettencommunity haben sich an dieser statt zwei Wege etabliert:

  • Die Wahrscheinlichkeit, dass der persönliche Tipp gewinnt wird anhand der persönlichen Wetthistorie ermittelt (Prozentsatz jener Tipps aus allen bisherigen Wetten, die gewonnen/verloren wurden)
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Tipp gewinnt wird auf Basis von Erfahrung und Wissen eingeschätzt

(Ergänzen lässt sich diese Liste noch um die statistisch ermittelte Wahrscheinlichkeit.)

Die zweite Vorgehensweise wird auch genutzt, um eine Value Bet zu ermitteln. Und tatsächlich: wird die Kelly Formel mit jener zur Berechnung einer Value Bet verglichen so fällt die Übereinstimmung auf. Der Formelteil oberhalb des Bruchstrichs (bp – 1) entspricht der Formel zur Berechnung der „wertvollen Wette“. Deshalb wird die Kelly Formel auch mit „f* = edge / odds“ charakterisiert („Wetteinsatz ist gleich ‚Vorteil/Gewinnerwartung‘ durch Quote“).

Die Kelly Formel in der Praxis: Bedingungen der Anwendbarkeit

Soll die Kelly Formel in die Praxis überführt werden, so ist das erste Erfordernis im Vorfeld der Anwendung, eine Summe für das persönliche Wettkapital festzulegen. Hierbei ergibt sich das erste Problem: Simulationen haben gezeigt, dass das Kelly Criterion effektiv ist, aber neben viel Zeit auch ein großes Grundkapital erfordert.

Mathematisch lässt sich von jedem Betrag ein Prozentanteil errechnen, also auch dann, wenn das Grundkapital irgendwann einmal nur mehr 1 Euro betragen sollte. Der Anwendbarkeit in der Praxis steht dann aber die Realität der Wettanbieter entgegen, die Beschränkungen in Form eines Mindesteinsatzes auferlegen.

Aus dem Erfordernis eines großen Grundkapitals ergibt sich aber wiederum ein psychologisches Problem, denn: je größer das Kapital ist, desto höher ist auch die Summe für den Einzeltipp. Sollte eine solche große Summe mehrmals hintereinander verloren gehen, so könnten auch die Nerven langsam „verloren gehen“.

Ein weiteres Problem liegt in der Fehleranfälligkeit der eigenen Einschätzung. Die Simulation Thorps zeigt: „using too large an f* and overbetting is much more severely penalized than using too small an f* and underbetting“ (Thorp 1997: 18).

Die generelle Empfehlung lautet daher, immer “less than Kelly” – oder sogar nur „half Kelly“, also die Hälfte von f* – und niemals mehr als 20-25% des Grundkapitals zu wetten. „half Kelly“ erzielt in etwa 75% der Wachstumsrate die „full Kelly“ erzielt.

 
Zitierte Quellen:

Kelly, J. L. (1956): A New Interpretation of Information Rate. In: Bell System Technical Journal, Issue 35, S. 917-926

Thorp, Edward O. (1997): The Kelly Criterion in Blackjack, Sports Betting and the Stock Market. Paper presented at: The 10th International Conference on Gambling and Risk Taking, Montreal, June 1997, Corrections added April 20, 2005

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